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微分法（定理）

1. 定義

$x$ の関数 $f(x)$ から導関数 $f'(x)$ を求めることを， $x$ について微分するという．

2. $f'(x)$ の符号と関数の増減

関数 $y=f(x)$ の値の増減は，

$f'(x) < 0$ となる $x$ の範囲で減少し，
$0 < f'(x)$ となる $x$ の範囲で増加する．

3. 公式

基本的な関数の微分

(c)' = 0 \quad (\text{ただし } c \text{ は定数})

(x^n)' = n x^{n-1} \quad (\text{実数 } n)

積と商の微分公式

\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}

\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}' = -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}

合成関数・逆関数の微分公式

\{f(g(x))\}' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

\frac{dy}{dx} = \frac{ \frac{dy}{d \theta} }{ \frac{dx}{d \theta} }

第 $n$ 次導関数の計算

f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x)

三角関数・指数関数・対数関数の微分

関数 $f(x)$	導関数 $f'(x)$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\frac{1}{\cos^2 x}$
$e^x$	$e^x$ （変化しない）
$a^x$	$a^x \log e a \quad (a > 0, a \neq 1)$
$\log x$	$\frac{1}{x}$
$\log_a x$	$\frac{1}{x \log e a} \quad (a > 0, a \neq 1)$