平均値の定理（ 定理 ）

1. 平均値の定理

関数$f(x)$が，$a \leq x \leq b$で連続であり，$a < x < b$で微分可能であれば十分，

を満たす実数$c$が存在する．

2. 直感的な説明

平均値の定理は，グラフの 「平均の変化率（2点を結ぶ直線の傾き）」 と， 「瞬間的な変化率（接線の傾き）」 の関係を示す．

1. 2点を結ぶ直線（弦）： 左辺の $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ は，グラフ上の2点 $(a, f(a))$ と $(b, f(b))$ を結ぶ直線の傾きを表す．
2. 接線の傾き： 右辺の $f'(c)$ は，点 $x = c$ におけるグラフの接線の傾きを表す．

従って，この定理は「グラフが途切れることなく（連続），尖ったところがない（微分可能）なめらかな曲線であれば，2点を通る直線と平行になるような接線が，その間のどこか（少なくとも1箇所）に必ず引ける」ということを意味する．